Question

已知橢圓

x2

4

+

y2

3

=1，能否在此橢圓位于y軸左側的部分上找到一點M，使它到左準線的距離為它到兩焦點F₁，F₂距離的等差中項，若能找到，求出該點的坐標，若不能找到，請說明理由．

Answer 1

分析：過點M作左準線的垂線MA交左準線于A，由M點到左準線的距離為它到兩焦點F₁，F₂距離的等差中項知2|MA|=|MF₁|+|MF₂|，此結合題設條件能夠推導出|MA|=2，從而導出M點的坐標．

解答：解：在橢圓

x2

4

+

y2

3

=1位于y軸左側的部分上有一點M，它到左準線的距離為它到兩焦點F₁，F₂距離的等差中項．
過點M作左準線的垂線MA交左準線于A，則2|MA|=|MF₁|+|MF₂|．
∵a=2，c=1，e=

1

2

，
∴2|MF₁|=|MA|+2-|MF₁|，
∴3|MF₁|=|MA|+2，
∴3e=1+

1

|MA|

，
∴

1

|MA|

=

1

2

∴|MA|=2．
∵點A在左準線x=-4上，
∴M點的橫坐標x₀=-4+2=-2．
把x₀=-2代入橢圓

x2

4

+

y2

3

=1得y₀=0，∴M（-2，0）．
故存在點M，其坐標是M（-2，0）．

點評：本題考查橢圓的基礎知識，解題時注意挖掘隱含條件．