Question

已知f（x）為R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f（x）=x²-4x+3．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）作出f（x）的圖象并根據(jù)圖象討論關(guān)于x的方程：f（x）-c=0（c∈R）根的個數(shù)．

Answer 1

分析：（1）只需求出x≤0時的表達式即可．設(shè)x＜0，則-x＞0，求出f（-x），根據(jù)奇函數(shù)得出f（x）與f（-x）的關(guān)系，從而求得f（x）；當(dāng)x=0時由奇函數(shù)性質(zhì)可得f（0）=0．
（2）作出函數(shù)f（x）的圖象，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（x）與y=c圖象的交點個數(shù)問題．

解答：解：（1）當(dāng)x＜0時，-x＞0，∵f（x）為R上的奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）=-f（-x）=-[（-x）²-4（-x）+3]=-x²-4x-3，即f（x）=-x²-4x-3．
當(dāng)x=0時，由f（-x）=-f（x），得f（0）=0．
所以f（x）=

x2-4x+3，x＞0 0，x=0 -x2-4x-3，x＜0

．
（2）作圖（如圖所示），由f（x）-c=0得：c=f（x），在圖中做出y=c，根據(jù)交點的情況即可得方程的根的情況：
當(dāng)c≥3或c≤-3時，方程有一個根；當(dāng)1＜c＜3或-3＜c＜-1時，方程有2個根；當(dāng)c=-1或c=1時，方程有3個根；當(dāng)0＜c＜1或-1＜c＜0時，方程有4個根；c=0，方程有5個根．

點評：本題考查函數(shù)解析式的求解及函數(shù)作圖，方程根的個數(shù)問題常轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，要深刻理解函數(shù)與方程思想在本題中的應(yīng)用．