Question

（2011•廣東三模）以下三個命題：①關于x的不等式

1

x

≥1的解為（-∞，1]②曲線y=2sin2x與直線x=0，x=

3π

4

及x軸圍成的圖形面積為s₁，曲線y=

1

π

4-x2

與直線x=0，x=2及x軸圍成的圖形面積為s₂，則s₁+s₂=2③直線x-3y=0總在函數y=lnx圖象的上方其中真命題的個數是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：①不等式

1

x

≥1等價于

1-x

x

≥0，解得0＜x≤1，故錯誤；②利用定積分分別求面積，即可判斷；③構造函數f(x)=lnx-

x

3

可以判斷函數f(x)=lnx-

x

3

值有正也有負，所以直線x-3y=0不總在函數y=lnx圖象的上方，從而可得答案

解答：解：①不等式

1

x

≥1等價于

1-x

x

≥0，∴0＜x≤1，故錯誤；
②s1=3∫

π 4 0

2sin2xdx=3(-cos2x)|

π 4 0

=3，s2=

∫

2 0

1

π

4-x2

dx=4，∴s₁+s₂=7，故錯誤；
③構造函數f(x)=lnx-

x

3

，∴f /(x)=

1

x

- 

1

3

∴x=3時，函數取得極大值且大于0，從而可知函數f(x)=lnx-

x

3

值有正也有負，所以直線x-3y=0不總在函數y=lnx圖象的上方，故錯誤
故選A．

點評：本題以命題為載體，考查解不等式，考查了利用定積分表示封閉圖形的面積，考查導數的運用，綜合性強．