Question

（本小題滿分13分）

已知拋物線的焦點在軸上，拋物線上一點到準線的距離是，過點的直線與拋物線交于，兩點，過，兩點分別作拋物線的切線，這兩條切線的交點為．

   （Ⅰ）求拋物線的標準方程；

（Ⅱ）求的值；

（Ⅲ）求證：是和的等比中項．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）0（3）略

【解析】（Ⅰ）解：由題意可設拋物線的方程為．

因為點在拋物線上，所以．

又點到拋物線準線的距離是，所以，可得．

所以拋物線的標準方程為．………………………………………………3分

（Ⅱ）解：點為拋物線的焦點，則．

依題意可知直線不與軸垂直，所以設直線的方程為．

由   得．

因為過焦點，所以判別式大于零．

設，．

則，．……………………………………………………6分

．

由于，所以．

切線的方程為，          ①

切線的方程為．         ②

由①，②，得．…………………………………8分

則．

所以．………………………10分

（Ⅲ）證明：．

由拋物線的定義知 ，．

則

．

所以．

即是和的等比中項．…………………………………………………13分