Question

函數(shù)f（x）（x∈R⁺）滿足下列條件：①f（a）=1（a＞1）②f（x^m）=mf（x）．
（1）求證：f（xy）=f（x）+f（y）；
（2）證明：f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（3）若不等式f（x）+f（3-x）≤2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）分別取x=a^m，y=aⁿ，再結(jié)合已知條件中的等式，化簡(jiǎn)可以得出f（xy）=f（x）+f（y）；
（2）設(shè)兩個(gè)正數(shù)x₁，x₂，且x₁＞x₂，通過(guò)構(gòu)造x₁=x₂t（t＞1），t=a^α（α＞0），再用函數(shù)單調(diào)性的定義可以證出
f（x₁）-f（x₂）=αf（a）=α＞0，可得函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（3）先利用（1）的結(jié)論，將不等式的左邊合并為f[（x）（3-x）]，右邊的2=f（a²），再根據(jù)（2）利用函數(shù)單調(diào)增的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為不等式x（3-x）≤a²在區(qū)間（0，3）上恒成立，實(shí)數(shù)a的范圍就不難得出了．

解答：解：（1）證明：令x=a^m，y=aⁿ，則f（xy）=f（a^maⁿ）=f（a^m+n）=（m+n）f（a）=m+n，
同理，f（x）+f（y）=m+n，∴得證
（2）證明：任設(shè)x₁，x₂∈R⁺，x₁＞x₂，可令，x₁=x₂t（t＞1），t=a^α（α＞0）
則f（x₁）-f（x₂）=f（x₂t）-f（x₂）=f（x₂）+f（t）-f（x₂）=f（t）=f（a^α）=αf（a）=α＞0
即f（x₁）＞f（x₂）∴f（x）在正實(shí)數(shù)集上單調(diào)遞增
（3）f（x）+f（3-x）≤2可化成，f（x）+f（3-x）≤2f（a）
即f（x）+f（3-x）≤f（a²），
即

f[(x)(3-x)]≤f(a2) 0＜x＜3

，即

x(3-x)≤a2 0＜x＜3

，而當(dāng)0＜x＜3時(shí)，[x(3-x)]max=

9

4

依題意，有a2≥

9

4

，又a＞1∴a≥

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，以及利用函數(shù)單調(diào)性的定義解函數(shù)值不等式，屬于難題．解決抽象函數(shù)的問(wèn)題一般應(yīng)用賦值法，在解題過(guò)程中體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，在轉(zhuǎn)化過(guò)程中還要注意函數(shù)的定義域．