Question

已知點A(1，0)，(B，0)和互不相同的點P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，滿足，其中{a_n}、{b_n}分別為等差數列和等比數列，O為坐標原點，若P₁是線段AB的中點.

(Ⅰ)求a₁，b₁的值；

(Ⅱ)點P₁，P₂，P₃，…，P_n，…能否共線？證明你的結論；

(Ⅲ)證明：對于給定的公差不零的{a_n}，都能找到唯一的一個{b_n}，使得P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，都在一個指數函數的圖象上．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)是線段的中點　　　　1分 　　又，且不共線， 　　由平面向量基本定理，知：　　　　　　　　3分 　　(Ⅱ)由　　　 　　設的公差為，的公比為，則由于，，，…，，…互不相同，所以，不會同時成立；　　　　　　　　　　　　　　　4分 　　若，則， 　　，，，…，，…都在直線上；　　　　　　5分 　　若，則為常數列， 　　，，，…，，…都在直線上；　　　　　　　6分 　　若且，，，，…，，…共線 　　與共線() 　　 　　 　　 　　與矛盾， 　　∴當且時，，，，…，，…不共線．　　　　9分 　　(Ⅲ)設都在指數函數的圖像上，則 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分 　　令，則，　　　　　　　　　　　　　　11分 　　于是，有唯一解，　　　　　　　13分 　　由于，，從而滿足條件“，，，…，，互不相同”． 　　∴當對于給定的，都能找到唯一的一個，使得，，，…，，…，都在指數函數的圖象上．　　　　　　　　　　　　　　　　14分