Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x-ae^x，a∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若?x∈R，f（x）≤0成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=x-ae^x，對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對(duì)?x∈R，f（x）≤0成立，只要f（x）的最大值小于等于0即可，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問題，從而求解；

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=1-ae^x．                            …（1分）
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在R上是增函數(shù)．         …（3分）
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0，得x=-lna．                …（4分）
若x＜-lna則f′（x）＞0，從而f（x）在區(qū)間（-∞，-lna）上是增函數(shù)；
若x＞-lna則f′（x）＜0，從而f（x）在區(qū)間（-lna，+∞）上是減函數(shù)．
綜上可知：當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在區(qū)間（-∞，-lna）上是增函數(shù)，在區(qū)間（-lna，+∞）上是減函數(shù)．
…（9分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）≤0不恒成立．
又因?yàn)楫?dāng)a＞0時(shí)，f（x）在區(qū)間（-∞，-lna）上是增函數(shù)，在區(qū)間（-lna，+∞）上是減函數(shù)，所以f（x）在點(diǎn)x=-lna處取最大值，
且f（-lna）=-lna-ae^-lna=-lna-1．    …（11分）
令-lna-1≤0，得a≥

1

e

，
故f（x）≤0對(duì)x∈R恒成立時(shí)，a的取值范圍是[

1

e

，+∞)．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減，此題是一道中檔題；