Question

已知頂點在坐標原點，焦點在x軸正半軸的拋物線上有一點A(，m)，A點到拋物線焦點的距離為1．
(1)求該拋物線的方程；
(2)設M(x₀，y₀)為拋物線上的一個定點，過M作拋物線的兩條互相垂直的弦MP，MQ，求證：PQ恒過定點(x₀＋2，－y₀)．

Answer 1

（1）y²＝2x   （2）見解析

(1)由題意可設拋物線的方程為y²＝2px(p>0)，則由拋物線的定義可得＋＝1，即p＝1，
∴拋物線的方程為y²＝2x．
(2)證明：由題意知，直線PQ與x軸不平行，設PQ所在直線方程為x＝ay＋n，代入y²＝2x得y²－2ay－2n＝0．
設P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，則y₁＋y₂＝2a，y₁y₂＝－2n，
∵MP⊥MQ，∴k_MP·k_MQ＝－1．
即·＝－1，∴(y₁＋y₀)(y₂＋y₀)＝－4．
即y₁·y₂＋(y₁＋y₂)y₀＋y₀²＋4＝0，
即(－2n)＋2ay₀＋2x₀＋4＝0，即n＝ay₀＋x₀＋2．
∴直線PQ的方程為x＝ay＋ay₀＋x₀＋2，
即x＝a(y＋y₀)＋x₀＋2，它一定過定點(x₀＋2，－y₀)．