Question

16．定義方程f（x）=f'（x）的實數根x₀叫做函數的“新駐點”，若函數g（x）=x，h（x）=ln（x+1），t（x）=x³-1的“新駐點”分別為a，b，c，則a，b，c的大小關系為（　　）

• A． a＞b＞c
• B． c＞a＞b
• C． a＞c＞b
• D． b＞a＞c

Answer 1

分析 通過構造函數F（x）=f（x）-f'（x），f（x）的“新駐點”就是函數F（x）的零點，再依次確定a，b，c的范圍得答案．

解答 解：對于g（x）=x，構造F（x）=g（x）-g'（x）=x-1，依題意，函數F（x）的零點就是函數g（x）的“新駐點”，得a=1；
對于h（x）=ln（x+1），構造G（x）=h（x）-h'（x）=ln（x+1）-$\frac{1}{x+1}$，
G（x）單調遞增，且G（0）=-1＜0，G（1）=ln2-$\frac{1}{2}$＞0，∴G（x）的零點b∈（0，1）；
對于t（x）=x³-1，構造H（x）=t（x）-t'（x）=x³-3x²-1，
H′（x）=3x²-6x=3x（x-2），當x∈（-∞，0）∪（2，+∞）上，H′（x）＞0；當x∈（0，2）上，H′（x）＜0．
∴H（x）的增區間為（-∞，0），（2，+∞）；減區間為（0，2）．
∵H（0）=-1＜0，∴H（x）只有1個零點，
∵H（3）=-1＜0，H（4）=15＞0，∴H（x）的零點c∈（3，4）．
綜上可得，c＞a＞b，
故選：B．

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性，考查零點存在定理的應用，屬于中檔題．