Question

設不等式x²+y²≤4確定的平面區域為U，|x|+|y|≤1確定的平面區域為V．
（1）定義橫、縱坐標為整數的點為“整點”，在區域U內任取3個整點，求這些整點中恰有2個整點在區域V的概率；
（2）在區域U內任取3個點，記這3個點在區域V的個數為X，求X的分布列和數學期望．

Answer 1

（1）依題可知平面區域U的整點為（0，0），（0，±1），（0，±2），（±1，0），（±2，0），（±1，±1）共有13個，
平面區域V的整點為（0，0），（0，±1），（±1，0）共有5個，
∴P=

C 25 ． C 18

C 313

=

40

143

（2）依題可得：平面區域U的面積為：π•2²=4π，平面區域V的面積為：

1

2

×2×2=2，
在區域U內任取1個點，則該點在區域V內的概率為

2

4π

=

1

2π

，
易知：X的可能取值為0，1，2，3，
且P(X=0)=

C

03

•(

1

2π

)0•(1-

1

2π

)3=

(2π-1)3

8π3

，P(X=1)=

C

13

•(

1

2π

)1•(1-

1

2π

)2=

3(2π-1)2

8π3

，P(X=2)=

C

23

•(

1

2π

)2•(1-

1

2π

)1=

3(2π-1)

8π3

，P(X=3)=

C

33

•(

1

2π

)3•(1-

1

2π

)3=

1

8π3

∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	(2π-1)3 8π3	3(2π-1)2 8π3	3(2π-1) 8π3	1 8π3

∴X的數學期望：EX=0×

(2π-1)3

8π3

+1×

3(2π-1)2

8π3

+2×

3(2π-1)

8π3

+3×

1

8π3

=

3

2π

（或者：X\～B(3，

1

2π

)，故EX=np=3×

1

2π

=

3

2π

．