Question

設不等式x²+y²≤4確定的平面區(qū)域為U，|x|+|y|≤1確定的平面區(qū)域為V．
（1）定義橫、縱坐標為整數(shù)的點為“整點”，在區(qū)域U內任取3個整點，求這些整點中恰有2個整點在區(qū)域V的概率；
（2）在區(qū)域U內任取3個點，記這3個點在區(qū)域V的個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析：（1）由題意知本題是一個古典概型，用列舉法求出平面區(qū)域U的整點的個數(shù)N，平面區(qū)域V的整點個數(shù)為n，這些整點中恰有2個整點在區(qū)域V的概率P=

C 5 2 ． C 8 1

C 13 3

=

40

143

；
（2）依題可得：平面區(qū)域U的面積為：π•2²=4π，平面區(qū)域V的面積為：

1

2

×2×2=2，在區(qū)域U內任取1個點，則該點在區(qū)域V內的概率為

2

4π

=

1

2π

，易知：X的可能取值為0，1，2，3，則X∽B（3，

1

2π

），代入概率公式即可求得求X的分布列和數(shù)學期望．

解答：解：（1）依題可知平面區(qū)域U的整點為（0，0），（0，±1），（0，±2），（±1，0），（±2，0），（±1，±1）共有13個，
平面區(qū)域V的整點為（0，0），（0，±1），（±1，0）共有5個，
∴P=

C 2 5 ． C 1 8

C 3 13

=

40

143

（2）依題可得：平面區(qū)域U的面積為：π•2²=4π，平面區(qū)域V的面積為：

1

2

×2×2=2，
在區(qū)域U內任取1個點，則該點在區(qū)域V內的概率為

2

4π

=

1

2π

，
易知：X的可能取值為0，1，2，3，
且P(X=0)=

C

0 3

•(

1

2π

)0•(1-

1

2π

)3=

(2π-1)3

8π3

，P(X=1)=

C

1 3

•(

1

2π

)1•(1-

1

2π

)2=

3(2π-1)2

8π3

，P(X=2)=

C

2 3

•(

1

2π

)2•(1-

1

2π

)1=

3(2π-1)

8π3

，P(X=3)=

C

3 3

•(

1

2π

)3•(1-

1

2π

)3=

1

8π3

∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	(2π-1)3 8π3	3(2π-1)2 8π3	3(2π-1) 8π3	1 8π3

∴X的數(shù)學期望：EX=0×

(2π-1)3

8π3

+1×

3(2π-1)2

8π3

+2×

3(2π-1)

8π3

+3×

1

8π3

=

3

2π

（或者：X\～B(3，

1

2π

)，故EX=np=3×

1

2π

=

3

2π

．

點評：此題是個中檔題．考查古典概型和幾何概型以及二項分布的期望求法，同時考查學生的閱讀能力和分析解決問題的能力．