Question

已知函數與函數g（x）的圖象關于y=x對稱，
（1）若g（a）g（b）=2，且a＜0，b＜0，則的最大值為   
（2）設f（x）是定義在R上的偶函數，對任意的x∈R，都有f（2-x）=f（x+2），且當x∈[-2，0]時，f（x）=g（x）-1，若關于x的方程f（x）-=0（a＞1）在區間（-2，6]內恰有三個不同實根，則實數a的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意，由反函數的定義以及對數函數、指數函數的性質可得g（x）=（）^x=2^-x，進而結合題意可得2^-（a+b）=2，即a+b=-1，對變形可得其等于-[5++]，由基本不等式的性質可得+≥4，代入=-[5++]可得其最大值，即可得答案．
（2）根據題意，分析可得函數f（x）是一個周期函數，且周期為4，將方程f（x）-log_a^x+2=0恰有3個不同的實數解，轉化為函數f（x）的與函數y=-log_a^x+2的圖象恰有3個不同的交點，數形結合即可得到實數a的取值范圍．
解答：解：（1）根據題意，g（x）=（）^x=2^-x，
若g（a）g（b）=2，則有2^-（a+b）=2，即a+b=-1，
則=-[（-a）+（-b）][+]=-[5++]，
又由a＜0，b＜0，則＞0且＞0，故+≥4，
則=-[5++]≤-9，
即的最大值為-9；
（2）對于任意的x∈R，都有f（x-2）=f（2+x），∴函數f（x）是一個周期函數，且T=4．
又∵當x∈[-2，0]時，f（x）=（）^x-1，且函數f（x）是定義在R上的偶函數，
若在區間（-2，6]內關于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有3個不同的實數解，
則函數y=f（x）與y=-log_a（x+2）在區間（-2，6]上有三個不同的交點，
又f（-2）=f（2）=3，分析可得有 log_a4＜3，且log_a8＞3，解得：＜a＜2，
則a的取值范圍是（，2）
故答案為（1）：-9；（，2）．
點評：本題考查指數函數與對數函數的圖象與性質，以及基本不等式的應用，（1）的關鍵是根據題意，求出g（x）的解析式，其次要注意題意中a＜0，b＜0的條件，要配湊基本不等式成立的條件．