Question

已知函數與函數g（x）=alnx在點（1，0）處有公共的切線，設F（x）=f（x）-mg（x）（m≠0）．
（1）求a的值
（2）求F（x）在區間[1，e]上的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為函數與函數g（x）=alnx在點（1，0）處有公共的切線，且f（1）=g（1）=0，說明點（1，0）在兩條曲線上，把兩函數求導后根據在（1，0）處的導數值相等可得a的值；
（2）把f（x）與g（x）代入函數F（x）的解析式，然后求其導函數，分m＜0和m＞0判斷導函數的單調性，根據函數的單調性求得F（x）在區間[1，e]上的最小值．其中當m＞0時需要由導函數的零點對區間[1，e]進行分段．
解答：解：（1）因為f（1）==0，g（1）=aln1=0，所以（1，0）在函數f（x），g（x）的圖象上
又，所以f'（1）=1，g'（1）=a
所以a=1
（2）因為F（x）=f（x）-mg（x），所以，，其定義域為{x|x＞0}
當m＜0時，，
所以F（x）在（0，+∞）上單調遞增
所以F（x）在[1，e]上單調遞增，其最小值為F（1）==0．
當m＞0時，令，得到（舍）
當時，即0＜m≤1時，F'（x）＞0對（1，e）恒成立，
所以F（x）在[1，e]上單調遞增，其最小值為F（1）=0
當時，即m≥e²時，F'（x）＜0對（1，e）成立，
所以F（x）在[1，e]上單調遞減，
其最小值為
當，即1＜m＜e²時，F'（x）＜0對成立，F'（x）＞0對成立
所以F（x）在單調遞減，在上單調遞增
其最小值為．
綜上，當m≤1時，F（x）在[1，e]上的最小值為F（1）=0．
當1＜m＜e²時，F（x）在[1，e]上的最小值為．
當m≥e²時，F（x）在[1，e]上的最小值為．
點評：本題考查了利用導數研究曲線上某點的切線方程，考查了利用導數求函數在閉區間上的最值，求函數在閉區間上的最值，需要求函數在對應開區間上的極值與區間端點的函數值，然后進行大小比較．此題屬中檔題．