Question

（一、二級達標校做）
如圖，在梯形ADBC中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=BC=1，PA⊥平面ABCD，CD⊥PC，PA=．
（Ⅰ） 證明：平面PAC⊥平面PCD；
（Ⅱ）若E為AD的中點，求證：CE∥平面PAB；
（Ⅲ）求四面體A-FCD的體積．

Answer 1

解：（I）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD
∴PA⊥CD
又CD⊥PC，PA∩PC=P．
∴CD⊥平面PAC
∵CD?平面PCD
∴平面PAC⊥平面PCD．
（Ⅱ）∵AD∥BC，AB⊥BC，AB=BC=1，
∴∠BAC=45°，∠CAD=45°，AC=
∵CD⊥平面PAC，CA?平面PAC
∴CD⊥CA，
∴Rt△ACD中，AD=AC=2
又∵E為AD的中點，
∴四邊形ABCE是正方形，
∴CE∥AB
∵CE?平面PAB，AB?平面PAB
∴CE∥平面PAB．
（Ⅲ）設PC的中點為F，連AF．
在Rt△PAC中，PA=，AC=，PC=2，
∴AF⊥PC，且AF=1，
由（Ⅰ）知：平面PAC⊥平面PCD，
∵平面PAC∩平面PCD=PC
∴AF⊥平面PCD，
在Rt△PCD中，CD=，PC=2，
∴S_△PCD=CD•PC=，
∴V_A-PCD=S_△PCD•AF=••1=
分析：（I）用線面垂直的性質，結合PA⊥平面ABCD，得PA⊥CD，再結合CD⊥PC，PA∩PC=P，得到CD⊥平面PAC，最后利用面面垂直的判定定理，得到平面PAC⊥平面PCD．
（II）根據底面直角梯形結合題中長度，可分別證出△ABC和△ACD是等腰直角三角形，結合E為AD的中點，證明出四邊形ABCE是正方形，從而CE∥AB，結合線面平行的判定定理，可得CE∥平面PAB．
（III）設PC的中點為F，連AF，可以證出△PAC是等腰直角三角形且AF是斜邊上的高，結合（I）平面PAC⊥平面PCD，得到AF是四面體A-FCD的高，然后計算出三角形PCD的面積，結合錐體的體積公式，可以算出四面體A-FCD的體積．
點評：本題結合一個底面為直角梯形且一條側棱與底垂直的四棱錐為載體，著重考查了平面與平面垂直的判定、直線與平面平行的判定和錐體體積公式，屬于中檔題．