Question

（一、二級達標校做）
已知函數f（x）=2x+

λ

2x

(x∈R，λ∈R)．
（Ⅰ） 討論函數的f（x）奇偶性，并說明理由；
（Ⅱ）當λ=1時，討論方程f（x）=μ（μ∈R）在x∈[-1，1]上實數解的個數情況，并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）定義域R關于原點對稱，分λ=1、λ=-1、λ≠±1三種情況分別利用奇函數和偶函數的定義判斷函數的奇偶性．
（Ⅱ）方程即 2x+

1

2x

=μ，令t=2^x，由于-1≤x≤1，可得

1

2

≤t≤2，g（t）=t+

1

t

 的值域為[2，2]，由此求出方程t+

1

t

=μ的實數解的個數．

解答：解：（Ⅰ）∵x∈R，定義域關于原點對稱．
當λ=1時，f（-x）=2-x+

1

2-x

=2x+

1

2x

=f（x），此時f（x）為偶函數．
當λ=-1時，f（-x）=2-x+

-1

2-x

=

1

2x

-2x=-f（x），此時f（x）為奇函數．
當λ≠±1時，f（-x）=2-x+

λ

2-x

，顯然f（-x）≠f（x），且 f（-x）≠-f（x），故f（x）為非奇非偶函數．
（Ⅱ）當λ=1時，f（x）=2x+

1

2x

，方程f（x）=μ（μ∈R），即 2x+

1

2x

=μ．
令t=2^x，由于-1≤x≤1，∴

1

2

≤t≤2．
再由 g（t）=t+

1

t

在[

1

2

，1]上是減函數，在[1，2]上是增函數．
∴g（t）的最小值為g（1）=2，最大值為f（

1

2

）=

5

2

，或 g（2）=

5

2

，
故 g（t）的值域為[2，2]，方程即t+

1

t

=μ．
當μ＜2或μ＞

5

2

時，解的個數為0；
當μ=2時，解的個數為1；
當2＜μ≤

5

2

解的個數為2．

點評：本題主要考查方程的根的存在性及個數判斷，函數的奇偶性的判斷，體現了轉化和分類討論的數學思想，屬于中檔題．