Question

（2012•菏澤一模）某學校為調查了解學生體能狀況，決定對高三學生進行一次體育達標測試，具體測試項目有100米跑、立定跳遠、擲實心球．測試規定如下：
①三個測試項目中有兩項測試成績合格即可認定為體育達標；
②測試時要求考生先從三個項目中隨機抽取兩個進行測試，若抽取的兩個項目測試都合格或都不合格時，不再參加第三個項目的測試；若抽取的兩個項目只有一項合格，則必須參加第三項測試．
已知甲同學跑、跳、擲三個項目測試合格的概率分別是

1

2

、

2

3

、

3

4

，各項測試時間間隔恰當，每次測試互不影響．
（Ⅰ）求甲同學恰好先抽取跳、擲兩個項目進行測試的概率；
（Ⅱ）求甲同學經過兩個項目測試就能達標的概率；
（Ⅲ）若甲按規定完成測試，參加測試項目個數為X，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）甲同學從三個項目中隨機抽取兩項，從而可求恰好先抽取跳、擲兩個項目進行測試的概率；
（Ⅱ）根據抽取的兩個項目測試都合格或都不合格，可求甲同學經過兩個項目測試就能達標的概率；
（Ⅲ）確定X的取值是2，3，求出相應的概率，即可求得X的分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）甲同學從三個項目中隨機抽取兩項，共有

C

2 3

=3種方法
∴恰好先抽取跳、擲兩個項目進行測試的概率為P1=

1

3

；
（Ⅱ）甲同學經過兩個項目測試就能達標的概率為P₂=

1

3

×

1

2

×

2

3

+

1

3

×

1

2

×

3

4

+

1

3

×

2

3

×

3

4

=

29

72

；
（Ⅲ）X的取值是2，3
X=2時，甲同學隨機抽取的兩項測試全部合格或者全部合格，
則P（X=2）=

1

3

（

1

2

×

2

3

+

1

2

×

3

4

+

2

3

×

3

4

）+

1

3

（

1

2

×

1

3

+

1

2

×

1

4

+

1

3

×

1

4

）=

19

36

X=3時，P（X=3）=1-P（X=2）=

17

36

，
∴X的分布列為

X	2	3
P	19 36	17 36

∴EX=2×

19

36

+3×

17

36

=

89

36

．

點評：本題考查概率知識，考查離散型隨機變量的分布列與數學期望，確定變量的取值，正確求概率是關鍵．