Question

在平面直角坐標系中，已知焦距為4的橢圓的左、右頂點分別為A、B，橢圓C的右焦點為F，過F作一條垂直于x軸的直線與橢圓相交于R、S，若線段RS的長為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C上存在兩個不同的點關于直線l：y=9x+m對稱，求實數m的取值范圍．
（3）若P為橢圓C在第一象限的動點，過點P作圓x²+y²=5的兩條切線PA、PB，切點為A、B，直線AB與x軸、y軸分別交于點M、N，求△MON（O為坐標原點）面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意得，c=2，故a²-b²=4，又橢圓過點（2，），代入橢圓方程，列方程求解a，b即可求橢圓C的方程；
（2）設D、E是橢圓C上關于l：y=9x+m對稱的點，設直線DE的方程為；聯立直線DE的方程與橢圓方程，根據判別式大于0求出n的范圍；再結合D，E的中點在直線l上得到m和n的關系，即可求實數m的取值范圍；
（3）設出P，A，B的坐標．得到直線PA與直線PB的方程，進而得到直線AB的方程，求出點M、N的坐標，表示出△MON的面積；再結合P為橢圓C在第一象限的動點即可求出面積的最小值．
解答：解：（1）依題意，橢圓過點，故，解得．…（3分）
橢圓C的方程為．…（4分）
（2）設D、E是橢圓C上關于l：y=9x+m對稱的點，設直線DE的方程為．
聯系方程得：，由△＞0得
又DE的中點在直線l上，代入得，
代入△得．
（3）設P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則直線PA：x₁x+y₁y=5，直線PB：x₂x+y₂y=5
所以，直線AB：xx+yy=5，故，，所以，
而，當且僅當時等號成立．
此時．
點評：本題綜合考查橢圓的性質及其應用、直線與橢圓的位置關系及直線，解題時要認真審題，注意運用方程思想等數學思想，同時考查了學生的基本運算能力、運算技巧、邏輯推理能力，難度較大．