Question

三題中任選兩題作答
（1）（2011年江蘇高考）已知矩陣，向量，求向量α，使得A²α=β
（2）（2011年山西六校模考）以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，已知點P的直角坐標為（1，-5），點M的極坐標為，若直線l過點P，且傾斜角為，圓C以M為圓心、4為半徑．
①求直線l的參數方程和圓C的極坐標方程；  ②試判定直線l和圓C的位置關系．
（3）若正數a，b，c滿足a+b+c=1，求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設向量=，由A²α=β，利用矩陣的運算法則，用待定系數法可得x 和 y 的值，從而求得向量．
（2）①根據題意直接求直線l的參數方程和圓C的極坐標方程．
②先化直線l的參數方程為普通方程，求出圓心坐標，用圓心的直線距離和半徑比較可知位置關系．
（3）利用柯西不等式，即可求得的最小值．
解答：解：（1）、A²==，設向量=，由 A²= 可得
=，
∴，解得 x=-1，y=2，
∴向量=．
（2）①直線l的參數方程為，（t為參數）
圓C的極坐標方程為ρ=8sinθ．（6分）
②因為M（4，）對應的直角坐標為（0，4）
直線l化為普通方程為x-y-5-=0
圓心到l的距離d==＞4，
所以直線l與圓C相離．（10分）
（3）∵正數a，b，c滿足a+b+c=1，
∴（）[（3a+2）+（3b+2）+（3c+2）]≥（1+1+1）²，
即≥1
當且僅當a=b=c=時，取等號
∴當a=b=c=時，的最小值為1．
點評：本題考查圓與圓的位置關系，參數方程與普通方程的互化，矩陣的運算法則，絕對值不等式的解法．第（3）小題考查求最小值，解題的關鍵是利用柯西不等式進行求解，屬于中檔題．