Question

給定數列a₁，a₂，……，a_n．對i＝1，2，3，…，n－1，該數列前i項的最大值記為A_i，后n－i項a_i+1，a_i+2，……，a_n的最小值記為B_i，d_i＝A_i－B_i．

(1)設數列{a_n}為3，4，7，1，寫出d₁，d₂，d₃的值．

(2)設a₁，a₂，……，a_n(n≥4)是公比大于1的等比數列，且a₁＞0，證明d₁，d₂，……，d_n－1是等比數列．

(3)設d₁，d₂，……，d_n－1是公差大于0的等差數列，且d₁＞0，證明a₁，a₂，……，a_n－1是等差數列．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)，， 　　(2)因為，，，()是公比大于的等比數列，且 　　所以 　　所以當時， 　　所以當時， 　　所以，，，是等比數列． 　　(3)若，，，是公差大于的等差數列，則 　　，，，應是遞增數列，證明如下： 　　設是第一個使得的項，則 　　，，所以，與已知矛盾． 　　所以，，，，是遞增數列 　　再證明數列中最小項，否則()，則 　　顯然，否則，與矛盾 　　因而，此時考慮，矛盾 　　因此是數列中最小項 　　綜上，() 　　于是，也即，，，是等差數列