Question

下列說法中正確的是    ．
①一條直線和一個平面平行，它就和這個平面內的無數條直線平行；
②一條直線和一個平面平行，它就和這個平面內的任何直線無公共點；
③過直線外一點，有且僅有一個平面和已知直線平行；
④如果直線l和平面α平行，那么過平面α內一點和直線l平行的直線在α內．

Answer 1

【答案】分析：根據線面平行的性質定理，可得①正確；根據線面平行的定義，可得②正確；根據線面平行的性質定理與判定定理加以證明，可得③不正確；根據線面平行的性質定理和平行公理加以證明，可得④正確．由此可得本題答案．
解答：解：對于①，若直線l與平面α平行，經過l作平面β
設α、β的交線為m，根據線面平行性質定理，可得l∥m
因為這樣的平面β有無數個，所以滿足條件的m也有無數條，故①正確；
對于②，根據直線與平面平行的定義，可得直線與平面沒有公共點
因此平面內任意一條直線都與已知直線沒有公共點，故②正確；
對于③，若點A為直線l外一點，則過A作直線m使m∥l
這樣的直線m有且只有一條，
但經過m的平面α如果滿足l?α，則有l∥α，
α為經過點A與l平行的平面，這樣的平面有無數多個，故③不正確；
對于④，如果直線l和平面α平行，在α內取一點A，過A作直線m，使m∥l，
經過l與點A的平面β，β∩α=m'，則m'∥l，可得經過點A有兩條直線與直線l平行
與平行公理矛盾，得過平面α內一點和直線l平行的直線在α內
故④正確
故答案為：①②④
點評：本題給出空間線面平行的4個命題，要求找出其中的真命題．著重考查了線面平行的定義、判定定理的性質定理等知識，屬于中檔題．