Question

若函數對任意的實數，，均有，則稱函數

是區間上的“平緩函數”，

(1) 判斷和是不是實數集R上的“平緩函數”，并說明理由；

(2) 若數列對所有的正整數都有 ，設,

求證： .

Answer 1

解：（1）是上的“平緩函數，但不是區間的“平緩函數”；

設，則,則是實數集上的增函數，

不妨設，則，即，

則，   ①

又也是上的增函數，則，

即，      ②

由  ①、 ②得   

因此  ，對的實數都成立，

當時，同理有成立

又當時，不等式，

故 對任意的實數，均 有

因此 是上的“平緩函數.

由于

取，，則，

因此， 不是區間的“平緩函數”.

（2）由（1）得：是上的“平緩函數，則

， 所以 ，

而，

所以

而

所以 ，

則

因此 .