Question

已知不等式

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＞

1

12

loga(a-1)+

2

3

對大于1的自然數n都成立，則實數a的取值范圍為

1＜a＜

1+ 5

2

．

Answer 1

分析：設S_n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，（n≥2），由已知，只需

1

12

loga(a-1)+

2

3

小于Sn的最小值，利用作差法得出Sn隨n的增大而增大，當n=2時Sn取得最小值

7

12

，再解對數不等式即可．

解答：設S_n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，（n≥2）則S _n+1=

1

n+2

+…+

1

2n

+

1

2n+1

+

1

2n+2

  
  Sn+1-Sn=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

=

1

2n+1

-

1

2n+2

＞0，∴Sn隨n的增大而增大．當n=2時，Sn取得最小值，S2=

1

3

+

1

4

=

7

12

∴

7

12

＞

1

12

loga(a-1)+

2

3

恒成立． 移向化簡整理得log_a（a-1）＜-1．①
根據對數的真數為正得：a-1＞0，a＞1，①再根據對數函數單調性得a-1＜

1

a

，a²-a-1＜0，②
①②聯立解得1＜a＜

1+ 5

2

故答案為：1＜a＜

1+ 5

2

點評：本題是不等式、函數、數列的結合，考查數列的函數性質，對數不等式，分式不等式的解．考查不等式恒成立問題、轉化、計算能力．