Question

已知函數f（x）=2ax-，x∈（0，1]．
（1）若f（x）在x∈（0，1]上是增函數，求a的取值范圍；
（2）求f（x）在區間（0，1]上的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知f（x）在（0，1]上為增函數，所以f′（x）＞0，x∈（0，1]，解出a＞-1，需考慮a=-1的情形．
（2）由（1）得當a≥-1時，f（x）在（0，1]上為增函數，當a＜-1時，利用導數研究函數的單調性求解函數的最值．
解答：解：（1）由已知可得f′（x）=2a+，
∵f（x）在（0，1）上是增函數，
∴f′（x）＞0，即a＞-，x∈（0，1]．∴a＞-1．
當a=-1時，f′（x）=-2+對x∈（0，1）也有f′（x）＞0，
滿足f（x）在（0，1]上為增函數，∴a≥-1．
（2）由（1）知，當a≥-1時，f（x）在（0，1]上為增函數，
∴[f（x）]_max=f（1）=2a-1．
當a＜-1時，令f′（x）=0得x=，
∵0＜＜1，∴0＜x＜時，
f′（x）＞0；＜x≤1時，f′（x）＜0．∴f（x）在（0，）上是增函數，
在（，1]減函數．
∴[f（x）]_max=f（）=-3．
點評：本題主要考查利用導數研究函數的單調性這一函數知識，是教學中的重點和難點，應熟練掌握．