Question

已知

a

=(

1

3

x2，x)，

b

=(x，x-3)，x∈[-4，4]．
（1）求f(x)=

a

•

b

表達式；
（2）求f（x）的最小值，并求此時

a

與

b

的夾角．

Answer 1

分析：（1）由數量積公式，直接代入計算可得答案；
（2）由（1）可得f（x）的解析式，求其求導可得f′（x），令f′（x）=0可得f（x）的極值點，列表分析可得f（x）的最小值，同時可得此時x的值，將x的值代入

a

，

b

的坐標，將其代入向量的夾角公式，計算可得答案．

解答：解：（1）f(x)=

a

•

b

=

1

3

x³+x（x-3）=

1

3

x³+x²-3x；
（2）由（1）可得，f（x）=

1

3

x³+x²-3x，
f′（x）=x²+2x-3=（x+3）（x-1），
令f′（x）=0，可得x=1或x=-3，
列表可得：

x	-4	（-4，-3）	-3	（-3，1）	1	（1，4）	4
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	20 3	增	9	減	- 5 3	增	76 3

則x=-1時，f（x）取得最小值，且f（x）_min=-

5

3

，
此時

a

=（

1

3

，1），

b

=（1，-2），則|

a

|=

10

3

，|

b

|=

5

，
cos＜

a

，

b

＞=-

2

2

，
則＜

a

，

b

＞=135°．

點評：本題考查利用導數求函數的最值，一般方法是，求出導函數的零點，列表并得到函數的極值，比較函數的極值，進而來確定函數的最值．