Question

某廠生產A產品的年固定成本為250萬元，若A產品的年產量為x萬件，則需另投入成本C（x）（萬元）．已知A產品年產量不超過80萬件時，C（x）=

1

3

x²+10x；A產品年產量大于80萬件時，C（x）=51x+

10000

x-80

-1450．因設備限制，A產品年產量不超過200萬件．現已知A產品的售價為50元/件，且年內生產的A產品能全部銷售完．設該廠生產A產品的年利潤為L（萬元）．
（1）寫出L關于x的函數解析式L（x）；
（2）當年產量為多少時，該廠生產A產品所獲的利潤最大？

Answer 1

分析：（1）利潤L（x）等于銷售收入減去固定成本再減去投入成本C（x），根據產量的范圍列出分段函數解析式；
（2）當0＜x≤80時，利用配方法求二次函數的最值，當80＜x≤200時，利用基本不等式求最值．

解答：解：（1）由題意知
L（x）=50x-C（x）-250=

- 1 3 x2+40x-250 (0＜x≤80) 1200-(x+ 10000 x-80 ) (80＜x≤200)

；
（2）①當0＜x≤80時，L(x)=-

1

3

(x-60)2+950，所以
當x=60時，L（x）_max=L（60）=950；
②當80＜x≤200時，
L(x)=1120-[(x-80)+

10000

x-80

]≤1120-2

(x-80)• 10000 x-80

=920．
當且僅當x-80=

10000

x-80

，即x=180時，“=”成立．
因為180∈（80，200]，所以L（x）_max=920＜950．
答：當年產量為60萬件時，該廠所獲利潤最大．

點評：本題考查了函數模型的選擇及應用，考查了分段函數的值域的求法，訓練了利用配方法求二次函數的最值及利用基本不等式求最值，是中檔題．