Question

已知點F(

1

2

，0)，動圓P經過點F，與直線x=-

1

2

相切，設動圓的圓心P的軌跡為曲線W，且直線x-y=m與曲線W相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，O為坐標原點．
（1）求曲線W的方程；
（2）當m=2時，證明：OA⊥OB；
（3）當y₁y₂=-2m時，是否存在m∈R，使得

OA

•

OB

=-1？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）確定動圓圓心P的軌跡是以F為焦點，以x=-

1

2

為準線的拋物線，即可得到曲線W的方程；
（2）直線方程與拋物線方程聯立，求得A，B的坐標，即可得到結論；
（3）由于A，B兩點在拋物線上，可得

y12=2x1 y22=2x2

，利用

OA

•

OB

=-1，建立方程，即可求出m的值．

解答：（1）解：過動圓圓心P作PN⊥直線x=-

1

2

，垂足為N，則有|PF|=|PN|，
∴動圓圓心P的軌跡是以F為焦點，以x=-

1

2

為準線的拋物線，
故曲線W的方程為y²=2x．
（2）證明：當m=2時，由

x-y=2 y2=2x

得x²-6x+4=0，
解得x1=3+

5

，x2=3-

5

，
因此y1=1+

5

，y2=1-

5

．
于是x1x2+y1y2=(3+

5

)(3-

5

)+(1+

5

)(1-

5

)=0，
即

OA

•

OB

=0．
所以OA⊥OB
（3）解：假設存在實數m滿足題意，由于A，B兩點在拋物線上，故

y12=2x1 y22=2x2

因此x1x2=

1

4

(y1y2)2=m2．
所以

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=m2-2m．
由

OA

•

OB

=-1，即m²-2m=-1，得m=1．
又當m=1時，經驗證直線與拋物線有兩個交點，
所以存在實數m=1，使得

OA

•

OB

=-1．

點評：本題考查軌跡方程，考查向量知識的運用，考查直線與拋物線的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．