Question

【題目】已知傾斜角為的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，與拋物線(xiàn)相交于、兩點(diǎn)，且.

（1）求拋物線(xiàn)的方程；

（2）設(shè)為拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），過(guò)做傾斜角互補(bǔ)的兩條直線(xiàn)、，交拋物線(xiàn)于另兩點(diǎn)、，記拋物線(xiàn)在點(diǎn)的切線(xiàn)的傾斜角為，直線(xiàn)的傾斜角為，求證：與互補(bǔ).

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)題意，設(shè)直線(xiàn)方程為，聯(lián)立方程，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)題意，設(shè)的方程為，聯(lián)立方程得，同理可得，進(jìn)而得到，再利用點(diǎn)差法得直線(xiàn)的斜率，利用切線(xiàn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系得直線(xiàn)的斜率，進(jìn)而可得與互補(bǔ).

（1）由題意設(shè)直線(xiàn)的方程為，令、，

聯(lián)立，得

，

根據(jù)拋物線(xiàn)的定義得，

又，

故所求拋物線(xiàn)方程為.

（2）依題意，設(shè)，，

設(shè)的方程為，與聯(lián)立消去得，

，同理

，直線(xiàn)的斜率=

切線(xiàn)的斜率，

由，即與互補(bǔ).