Question

數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=r•a_n+r（n∈N^*，r∈R且r≠0），則“r=1”是“數列{a_n}成等差數列”的（　　）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：把r=1代入給出的遞推式，直接判斷出數列{a_n}是等差數列，再由給出的遞推式，當r≠1時，配方后得到an+1+

r

r-1

=r(an+

r

r-1

)，說明數列{an+

r

r-1

}是等比數列，求出其通項公式后可得a_n，由a_n看出，當r=

1

2

時數列{a_n}為等差數列，從而說明“r=1”是“數列{a_n}成等差數列”的不必要條件．

解答：解：當r=1時，等式a_n+1=r•a_n+r化為a_n+1=a_n+1，即a_n+1-a_n=1（n∈N^*）．
所以，數列{a_n}是首項a₁=1，公差為1的等差數列；
“r=1”是“數列{a_n}成等差數列”的充分條件；
當r不等于1時，
由an+1=ran+r=ran+

r2

r-1

-

r

r-1

，得：an+1+

r

r-1

=r(an+

r

r-1

)，
所以，數列{an+

r

r-1

}是首項為1+

r

r-1

=

2r-1

r-1

，公比為r的等比數列
所以，an+

r

r-1

=

2r-1

r-1

•rn-1，
an=

r

1-r

+

2r-1

r-1

•rn-1．
當r=

1

2

時，a_n=1．{a_n}是首項為1，公差為0的等差數列．
因此，“r=1”不是“數列{a_n}成等差數列”的必要條件．
綜上可知，“r=1”是“數列{a_n}成等差數列”的充分但不必要條件．
故選A．

點評：本題考查了必要條件、充分條件及充要條件，解答的關鍵是判斷必要性，也是該題的難點，考查了由遞推式求數列的通項公式，對于a_n+1=pa_n+q型的遞推式，一般都可轉化成一個新的等比數列．此題是中檔題．