Question

已知二次函數.

（1）若，試判斷函數零點個數；

（2）是否存在，使同時滿足以下條件

①對任意，且；

②對任意,都有。若存在，求出的值，若不存在，請說明理由。

（3）若對任意且，，試證明存在，

使成立。

 

Answer 1

【答案】

（1）函數有兩個零點。（2）當時，同時滿足條件①、②. （3）利用零點存在性定理證明即可

【解析】

試題分析：（1） 

當時，

函數有一個零點； 3分

當時，，函數有兩個零點。        5分

（2）假設存在，由①知拋物線的對稱軸為x＝－1，

∴即    7分

由②知對,都有

令得又因為恒成立， 

，即，即

由得，   10分

當時，，

其頂點為（－1，0）滿足條件①，又對,

都有，滿足條件②.

∴存在，使同時滿足條件①、②. .12分

（3）令，則

，

在內必有一個實根。即，

使成立   18分

考點：本題考查了函數的零點及恒成立問題

點評：①二次函數、一元二次方程和一元二次不等式是一個有機的整體，也是高考熱點，要深刻理解它們相互之間的關系，能用函數思想來研究方程和不等式，便是抓住了關鍵.②二次函數的圖像形狀、對稱軸、頂點坐標、開口方向等是處理二次函數問題的重要依據.