Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-ax+1，
（1）若x=1時，f（x）取得極值，求實數(shù)a的值；
（2）當a＜1時，求f（x）在[0，1]上的最小值；
（3）若對任意m∈R，直線y=-x+m都不是曲線y=f（x）的切線，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用f′（1）=0，再驗證在x=1的左右兩側(cè)f′（x）的符號是否異號即可；
（2）對于f′（x）分類討論當a≤0時與0＜a＜1時，利用f（x）的單調(diào)性即可得出；
（3）任意m∈R，直線y=-x+m都不是曲線y=f（x）的切線，?f′（x）=x²-a≠-1對x∈R恒成立，即f′（x）=x²-a的最小值大于-1，解出即可．

解答：解：（1）∵f′（x）=x²-a，又x=1時f（x）取得極值，
∴f′（1）=1-a=0，解得a=1．
∴f′（x）=x²-1=（x+1）（x-1）．
當x∈（-1，1）時，f′（x）＜0；  
當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0．
∴f（x）在x=1時取得極小值，故a=1符合．
（2）當a≤0時，f′（x）≥0對x∈[0，1]恒成立，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（0）=1，
當0＜a＜1時，由f′（x）=x²-a=0解得x=±

a

，
若x∈(0，

a

)，則f′（x）＜0，
∴f（x）在(0，

a

)上單調(diào)遞減．
若x∈(

a

，1)，則f′（x）＞0，
∴f（x）在(

a

，1)上單調(diào)遞增．
∴f（x）在x=

a

時取得極小值，也是最小值，即f(x)min=f(

a

)=1-

2a a

3

．
綜上所述，f（x）_min=

1，a≤0 1- 2a a 3 ，0＜a＜1

．
（3）∵任意m∈R，直線y=-x+m都不是曲線y=f（x）的切線，
∴f′（x）=x²-a≠-1對x∈R恒成立，
即f′（x）=x²-a的最小值大于-1，
而f′（x）=x²-a的最小值為f′（0）=-a，
∴-a＞-1，故a＜1．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、切線、分類討論等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．