Question

下列結論中錯誤的一項是（　　）

• A．若f（x）=xⁿ，n為奇數，則f（x）是奇函數
• B．若f（x）=xⁿ，n為偶數，則f（x）是偶函數
• C．若f（x）與g（x）都是R上奇函數，則f（x）?g（x）是R上奇函數
• D．若f(x)=x3+

  1

  x

  ，則f（x）是奇函數．

Answer 1

分析：對于選項A、B、D，求出函數定義域后，直接利用函數的奇偶性定義判斷；
選項C中兩個函數的定義域相同，都是R，直接利用奇偶性定義判斷；

解答：解：函數f（x）=xⁿ（n為奇數）的定義域為實數集，而f（-x）=（-x）ⁿ=-xⁿ，所以，f（x）是奇函數．選項A正確；
函數f（x）=xⁿ（n為偶數）的定義域為實數集，而（-x）ⁿ=xⁿ，所以，f（x）是偶函數．選項B正確；
若f（x）與g（x）都是R上奇函數，則f（-x）=-f（x），g（-x）=-g（x），
所以，f（-x）•g（-x）=（-f（x））•（-g（x））=f（x）•g（x），所以，f（x）•g（x）是R上偶函數．選項C錯誤；
函數f(x)=x3+

1

x

的定義域為{x|x≠0}，而f（-x）=(-x)3+

1

-x

=-x3-

1

x

=-(x3+

1

x

)，所以，f（x）是奇函數，選項D正確．
所以，錯誤的選項是C．
故選C．

點評：本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了判斷函數奇偶性的方法，判斷給出具體解析式的函數的奇偶性，先看定義域，若定義域不關于原點對稱，函數為非奇非偶函數，定義域關于原點對稱，看f（-x）與f（x）和-f（x）的關系，同時注意，在相同定義域內，兩個奇函數或兩個偶函數的乘積是偶函數，一個奇函數與一個偶函數的乘積是奇函數，此題是基礎題．