Question

（1）已知，且tanα•tanβ＜1，比較α+β與的大小；
（2）試確定一個區間D，，對任意的α、β∈D，當時，恒有sinα＜cosβ；并說明理由．
說明：對于第（2）題，將根據寫出區間D所體現的思維層次和對問題探究的完整性，給予不同的評分．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用正切化為正弦、余弦，和角公式求出cos（α+β）＞0，根據，推出α+β與的大小．
（2）直接在內找出一個子區間，區間是固定的，也可以是變化的，對任意的α、β∈D，當時，恒有sinα＜cosβ，利用函數的單調性，三角函數的符合特征，加以證明即可．
解答：解：（1）∵
∴（2分）=＞cos（α+β）＞0（2分）
∵α+β∈（0，π）
∴（2分）
（2）第一類解答：（1）若取或取等固定區間且D是的子集并說明理由者給（2分），
（2）若取D=[γ₁，γ₂]，，并說明理由者給（3分）
理由：
若取，，
則-1＜sinα＜0，0＜cosβ＜1，即sinα＜cosβ；
第二類解答：（1）若取或取等固定區間且D是的子集，且解答完整得（4分）
（2）若取D是的子集且區間的一端是變動者．且解答完整得（5分）
（3）若取D=[γ₁，γ₂]，，且解答完整得（6分）
取D=[γ₁，γ₂]，
證明如下，設α，β∈[γ₁，γ₂]，，
又，
則，
因為-γ₂≤-β≤γ₁，，
而，，
即：，于是由α，β∈[γ₁，γ₂]，，且
以及正弦函數的單調性得：，即：0＜sinα＜cosβ
第三類解答：
（1）若取或取等固定區間且D是的子集（兩端需異號），且解答完整得（6分）
（2）若取D是的子集且區間的一端是變動者（兩端需異號）．且解答完整得（7分）
（3）若取取D=[γ₁，γ₂]，，（γ₁與γ₂需異號）且解答完整得（8分）
若取，
因為：，，
則
亦有：，
這時，，，
而為，
所以有sinα＜cosβ．
（如出現其它合理情況，可斟酌情形給分，但最高不超過8分）．
點評：本題考查比較大小，正弦函數的單調性，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題．