Question

（本小題滿分12分）

已知數列滿足

   （I）求的取值范圍；

   （II）是否存在，使得？證明你的結論。

 

Answer 1

【答案】

解：

（Ⅰ）由a₂＝＜a₁解得－3＜a₁＜0或a₁＞3．………………………………1分

當－3＜a₁＜0時，a₂＝＜＝－3，

a₃－a₂＝－a₂＝＞0，a₃＞a₂，與題設矛盾．…………………………3分

當a₁＞3時，先用數學歸納法證明a_n＞3．

（1）當n＝1時不等式成立．

（2）假設當n＝k時不等式成立，即a_k＞3，則

a_k＋1＝＞＝3，

即當n＝k＋1時不等式仍成立．

根據（1）和（2），對任何n∈N^*，都有a_n＞3．………………………………6分

∵a_n＋1－a_n＝－a_n＝＜0，∴a_n＋1＜a_n，n∈N^*，

綜上，a₁的取值范圍是(3，＋∞)．………………………………………………8分

（Ⅱ）假設存在使題設成立的正整數m，則

(a_m－3)(a_m＋2－3)＝(a_m＋1－3)²即(a_m－3)·＝(a_m＋1－3)²，

∴a_m－3＝2a_m＋1，即a_m－3＝，從而a_m＝－3，這不可能．

 

【解析】略