Question

數列{a_n}滿足a₁=a，，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）若a_n+1=a_n，求a的值；
（Ⅱ）當時，證明：；
（Ⅲ）設數列{a_n-1}的前n項之積為T_n．若對任意正整數n，總有（a_n+1）T_n≤6成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意知，解得，由n的任意性知，．
（Ⅱ）假設，則，依此類推，，，，，與矛盾．所以．
（Ⅲ）由題設條件知．由此入手能夠解出a的取值范圍是．
解答：解：（Ⅰ）因為a_n+1=a_n，所以，解得或a_n=-1（舍去）．
由n的任意性知，．（3分）
（Ⅱ）反證法：
假設，則，得，
依此類推，，，，，與矛盾．
所以．（8分）
（Ⅲ）由已知，當n≥2時，2a_n²=a_n-1+3，2（a_n²-1）=a_n-1+1，2（a_n-1）（a_n+1）=a_n-1+1，
所以．
同理，，．
將上述n-1個式子相乘，得，
即，．
所以對任意n≥2恒成立．
又n=1時，（a₁+1）（a₁-1）=a₁²-1≤6，
故a₁²≤6×2^n-1+1對任意n∈N^*恒成立．
因為數列{6×2^n-1+1}單調遞增，所以a₁²≤6×1+1=7，
即a的取值范圍是．（14分）
點評：本題考查數列性質的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答．