【題目】已知A、B為橢圓
（
）和雙曲線
的公共頂點，P、Q分別為雙曲線和橢圓上不同于A、B的動點，且
（
，
），設AP、BP、AQ、BQ的斜率分別為
、
、
、
.
（1）若
，求
的值（用a、b的代數式表示）；
（2）求證：
；
（3）設
、
分別為橢圓和雙曲線的右焦點，若
，求
的值．
【答案】（1）
；（2）證明見解析；（3）8．
【解析】
（1）根據平面向量的線性運算可得
，設點
，
，將兩點分別代入雙曲線方程和橢圓方程并求解可得
，
，從而可求
；
（2）設點P，Q的坐標分別為
，
，將點P的坐標代入雙曲線方程變形可得
，則
，同理可得
，相加即可證明結論；
（3）由（2）
，
，又
，則
，
，從而
，解得
，
，因為O，P，Q三點共線且
，所以
，則
，可求
，結合①可得
，再求
，同理可求
和
，由此即可求得結果.
（1）如圖，
，
，
，
，
若
，則，設點，，
將兩點分別代入雙曲線方程和橢圓方程中得：
，
，
解得，，，故
；
（2）設點P，Q的坐標分別為，，
則，即，
所以，①，
同理，
②，由（1）知，O，P，Q三點共線，
，由①②得，
；
（3）由（2），，又，則
，
即，，從而，又，
解得，，
因為O，P，Q三點共線且，所以，
則，所以
，
由①得
，同理，
另一方面，
，類似地，，
故
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某數學小組到進行社會實踐調查，了解鑫鑫桶裝水經營部在為如何定價發愁。進一步調研了解到如下信息：該經營部每天的房租、人員工資等固定成本為200元，每桶水的進價是5元，銷售單價與日均銷售量的關系如下表：
銷售單價/元 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
日均銷售量/桶 | 480 | 440 | 400 | 360 | 320 | 280 | 240 |
根據以上信息，你認為該經營部定價為多少才能獲得最大利潤？（ ）
A.每桶8.5元B.每桶9.5元C.每桶10.5元D.每桶11.5元
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】《中華人民共和國道路交通安全法》第47條的相關規定：機動車行經人行橫道時，應當減速慢行；遇行人正在通過人行橫道，應當停車讓行，俗稱“禮讓斑馬線”，《中華人民共和國道路交通安全法》第90條規定：對不禮讓行人的駕駛員處以扣3分，罰款50元的處罰．
（1）交警從這5個月內通過該路口的駕駛員中隨機抽查了50人，調查駕駛員不“禮讓斑馬線”行為與駕齡的關系，得到如下列聯表：能否據此判斷有97.5%的把握認為“禮讓斑馬線”行為與駕齡有關？
不禮讓斑馬線 | 禮讓斑馬線 | 合計 | |
駕齡不超過1年 | 22 | 8 | 30 |
駕齡1年以上 | 8 | 12 | 20 |
合計 | 30 | 20 | 50 |
（2）下圖是某市一主干路口監控設備所抓拍的5個月內駕駛員不“禮讓斑馬線”行為的折線圖：
請結合圖形和所給數據求違章駕駛員人數y與月份x之間的回歸直線方程
，并預測該路口7月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數．
附注：參考數據：
，
．
參考公式：
，
，
（其中
）
| 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，一個粒子從原點出發，在第一象限和兩坐標軸正半軸上運動，在第一秒時它從原點運動到點
，接著它按圖所示在
軸、
軸的垂直方向上來回運動，且每秒移動一個單位長度，那么，在2018秒時，這個粒子所處的位置在點______.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為
，離心率為
，
為橢圓上一動點（異于左右頂點），
面積的最大值為
．
（1）求橢圓
的方程；
（2）若直線
與橢圓相交于點
兩點，問
軸上是否存在點
，使得
是以為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在極坐標系下，方程
的圖形為如圖所示的“幸運四葉草”，又稱為玫瑰線．
（1）當玫瑰線的
時，求以極點為圓心的單位圓與玫瑰線的交點的極坐標；
（2）求曲線
上的點M與玫瑰線上的點N距離的最小值及取得最小值時的點M、N的極坐標（不必寫詳細解題過程）．
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