Question

求滿足下列條件的橢圓的標準方程：
（1）經過點（2，-3）且與橢圓9x²+4y²=36有公共焦點；
（2）經過點A（2，

2

）和點B（

6

，1）．

Answer 1

分析：（1）由橢圓9x²+4y²=36的焦點為F（0，±

5

），設所求橢圓的方程為

x2

a2-5

+

y2

a2

=1，把點（2，-3）代入，得

4

a2-5

+

9

a2

=1，由此能求出橢圓方程．
（2）設所求的橢圓方程為mx²+ny²=1，（m＞0，n＞0，m≠n），由橢圓經過點A（2，

2

）和點B（

6

，1），知

4m+2n=1 6m+n=1

，由此能求出橢圓方程．

解答：解：（1）∵橢圓9x²+4y²=36的焦點為F（0，±

5

），
∴設所求橢圓的方程為

x2

a2-5

+

y2

a2

=1，
把點（2，-3）代入，得

4

a2-5

+

9

a2

=1，
整理，得a⁴-18a²+45=0，
解得a²=15，或a²=3（舍）．
∴所求的橢圓方程為

x2

10

+

y2

15

=1．
（2）設所求的橢圓方程為mx²+ny²=1，（m＞0，n＞0，m≠n）
∵橢圓經過點A（2，

2

）和點B（

6

，1），
∴

4m+2n=1 6m+n=1

，
解得m=

1

8

，n=

1

4

，
∴所求的橢圓方程為

x2

8

+

y2

4

=1．

點評：本題考查橢圓方程的求法，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．