Question

設函數f(x)=cos(2x+

π

6

)+sin2x．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）設A，B，C為△ABC的三個內角，若AB=1，sinB=

1

3

，求AC的長．

Answer 1

考點：正弦定理的應用,兩角和與差的正弦函數,正弦函數的單調性

專題：三角函數的求值

分析：利用兩角差的余弦函數以及正弦函數化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，
（Ⅰ）利用正弦函數的單調增區間求解函數f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）利用第一問的結果求出C的正弦函數值，結合設A，B，C為△ABC的三個內角，若AB=1，sinB=

1

3

，利用正弦定理即可求AC的長．

解答： （本小題共13分）
解：f(x)=cos(2x+

π

6

)+sin2x
=cos2xcos

π

6

-sin2xsin

π

6

+sin2x=

3

2

cos2x+

1

2

sin2x=sin(2x+

π

3

)…（3分）
（I）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，則kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z
所以函數f（x）的單調遞增區間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

](k∈Z)．…（6分）
（II）由已知f(

C

2

)=sin(C+

π

3

)=

3

2

，…．（8分）
因為0＜C＜π，∴

π

3

＜C+

π

3

＜

4π

3

所以C+

π

3

=

2π

3

，C=

π

3

，所以sinC=

3

2

．…（10分）
在△ABC中，由正弦定理，

AC

sinB

=

AB

sinC

，得AC=

AB•sinB

sinC

=

1 3

3 2

=

2 3

9

．…..（13分）

點評：本題考查兩角和與差的三角函數，正弦定理的應用，考查三角形的解法，考查計算能力．