Question

【題目】已知橢圓以原點(diǎn)為中心，左焦點(diǎn)的坐標(biāo)是，長軸長是短軸長的倍，直線與橢圓交于點(diǎn)與，且、都在軸上方，滿足；

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）對于動直線，是否存在一個(gè)定點(diǎn)，無論如何變化，直線總經(jīng)過此定點(diǎn)？若存在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，；

【解析】

（1）由題意設(shè)橢圓方程為：（），，即

代入即可求出值從而求出橢圓方程。（2）B關(guān)于軸的對稱點(diǎn)在直線AF上，設(shè)直線AF的方程：，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及直線的斜率公式，代入

和直線方程即可證明直線過定點(diǎn)。

（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（），由題意得，即。又，代入即可求得，。

橢圓方程為：

（2）因?yàn)?/span>，所以

。

設(shè)，直線AB的方程為，將代入，

所以

即

即

代入韋達(dá)定理可得：

所以直線為

所以直線恒過。