Question

已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與直角坐標系的x軸的正半軸重合．設點O為坐標原點，直線l：

x=t y=2+2t

（參數t∈R）與曲線C的極坐標方程為 ρcos²θ=2sinθ
（Ⅰ）求直線l與曲線C的普通方程；
（Ⅱ）設直線l與曲線C相交于A，B兩點，證明：

OA

•

OB

=0．

Answer 1

（Ⅰ）由直線l的參數方程消去t得普通方程為 y=2x+2．
由曲線C的極坐標方程兩邊同乘ρ得曲線C的普通方程為  x²=2y．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=2x+2 x2=2y

  消去y得  x²-4x-4=0，
∴x₁+x₂=4，x₁•x₂=-4，∴y₁y₂=

x 21

2

•

x 22

2

=4，∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=0．