Question

（15分）在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸和y軸上（如圖），且OC=1，OA=a+1(a>1)，點D在邊OA上，滿足OD=a. 分別以OD、OC為長、短半軸的橢圓在矩形及其內部的部分為橢圓弧CD. 直線l：y=－x+b與橢圓弧相切，與AB交于點E.

（1）求證：；

（2）設直線l將矩形OABC分成面積相等的兩部分，求直線l的方程；

（3）在（2）的條件下，設圓M在矩形及其內部，且與l和線段EA都相切，求面積最大的圓M的方程．

Answer 1

解析：題設橢圓的方程為.                    …………………………1分

由消去y得.   ………………………2分

由于直線l與橢圓相切，故△＝(－2a²b)²－4a²(1+a²) (b²－1)＝0，

化簡得.          ①                        …………………………4分

（2）由題意知A（a+1，0），B（a+1，1），C（0，1），

于是OB的中點為.                           ………………………5分

因為l將矩形OABC分成面積相等的兩部分，所以l過點，

即，亦即.         ②          …………………………6分

由①②解得，故直線l的方程為    ………………………8分

（3）由（2）知.

因為圓M與線段EA相切，所以可設其方程為.………9分

因為圓M在矩形及其內部，所以      ④     ……………………… 10分

圓M與 l相切，且圓M在l上方，所以，即.

………………………12分

代入④得即            ………………………13分

所以圓M面積最大時，，這時，.

故圓M面積最大時的方程為 ………………………15分