Question

已知橢圓C的中心O在原點，長軸在x軸上，焦距為6，短軸長為8．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點（-5，0）作傾斜角為

π

4

的直線交橢圓C于A、B兩點，求△ABO的面積．

Answer 1

分析：（1）設橢圓方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由題意可求2c，2b，然后由a²=b²+c²可求a，進而可求橢圓C方程
（2）直線AB方程為：y=x+5，由

y=x+5 x2 25 + y2 16 =1

可求A，B，代入三角形的面積公可求

解答：解：（1）設橢圓方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由題意得：2c=6，2b=8，
∴c=3，b=4
∴a=5
所以橢圓C方程為

x2

25

+

y2

16

=1（7分）
（2）不妨設A（-5，0），直線AB方程為：y=x+5，由

y=x+5 x2 25 + y2 16 =1

得

x=- 45 41 y= 160 41

（11分） 
所以S△OAB=

1

2

OA•|yB|=

1

2

×5×

160

41

=

400

41

（14分）
說明：用根與系數關系和弦長公式去做，同樣給分．

點評：本題主要考查了利用橢圓的性質求解橢圓方程，直線與橢圓的相交關系的應用，屬于中檔試題．