Question

設函數f（x）=

a

3

x³+bx²+cx+d（a＞0），且方程f′（x）-9x=0的兩個根分別為1和4，若f（x）在 （-∞，+∞）內無極值點，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由方程f′（x）-9x=0的兩個根分別為1和4，得到

b= 1 2 (9-5a) c=4a

，又由函數f（x）=

a

3

x³+bx²+cx+d（a＞0）在R上無極值，則其導數值非正或非負，
由于其導數為開口向上的二次函數，只須導函數相應二次方程的判別式非正即可即可得到函數在R上無極值的條件，將b，c代入后，求解不等式，即可得到實數a的取值范圍．

解答：解：∵f（x）=

a

3

x³+bx²+cx+d（a＞0）
∴f′（x）=ax²+2bx+c，
∵方程f′（x）-9x=0的兩個根分別為1和4，
∴ax²+（2b-9）x+c=0的兩個根分別為1和4，
即

a+2b+c-9=0 16a+8b+c-36=0

∴

b= 1 2 (9-5a) c=4a

又∵函數f（x）=

a

3

x³+bx²+cx+d（a＞0）在R上無極值
∴f′（x）=ax²+2bx+c≥0恒成立
∴4b²-4ac≤0，即b²-ac≤0
∴[

1

2

(9-5a)]2-4a2≤0，整理得a²-10a+9≤0
解得：1≤a≤9，
則實數a的取值范圍1≤a≤9．
故答案為：1≤a≤9．

點評：本題的考點是函數在某點取得極值的條件，考查函數沒有極值時導數的值域的數字特征，并將這一關系轉化為相應的不等式．本題在求解時用到了等價轉化的思想．轉化是數學中解決問題的常用技巧，做完此題后要好好體會其方式．