Question

【題目】設F1 ， F2分別是橢圓E：x2+ =1（0＜b＜1）的左、右焦點，過F1的直線l與E相交于A、B兩點，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數列． （Ⅰ）求|AB|；
（Ⅱ）若直線l的斜率為1，求b的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由橢圓定義知|AF2|+|AB|+|BF2|=4 又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得
（Ⅱ）L的方程式為y=x+c，其中
設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），則A，B兩點坐標滿足方程組 ．，
化簡得（1+b2）x2+2cx+1﹣2b2=0．
則 ．
因為直線AB的斜率為1，所以
即 ．
則 ．
解得
【解析】（Ⅰ）由橢圓定義知|AF2|+|AB|+|BF2|=4，再由|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數列，能夠求出|AB|的值．（Ⅱ）L的方程式為y=x+c，其中 ，設A（x1 ， y1），B（x1 ， y1），則A，B兩點坐標滿足方程組 ，化簡得（1+b2）x2+2cx+1﹣2b2=0．然后結合題設條件和根與系數的關系能夠求出b的大小．