Question

為迎接2011“兔”年的到來，某機構(gòu)舉辦猜獎活動，參與者需先后回答兩道選擇題：問題A有四個選項，問題B有五個選項，但都只有一個選項是正確的，正確回答問題A可獲獎金m元，正確回答問題B可獲獎金n元．活動規(guī)定：參與者可任意選擇回答問題的順序：如果第一個問題回答錯誤，則該參與者猜獎活動中止，一個參與者在回答問題前，對這兩個問題都很陌生，因而準備靠隨機猜測回答問題，試確定回答問題的順序使獲獎金額的期望值較大．

Answer 1

分析：隨機猜對問題A的概率P1=

1

4

，隨機猜對問題B的概率P2=

1

5

．回答問題的順序有兩種，分別討論如下：先回答問題A，再回答問題B．先回答問題B，再回答問題A，做出兩種情況下的獲勝的期望，進行比較，分類討論．

解答：解：隨機猜對問題A的概率P1=

1

4

，隨機猜對問題B的概率P2=

1

5

．
回答問題的順序有兩種，分別討論如下：
（1）先回答問題A，再回答問題B．
參與者獲獎金額ξ可取0，m，m+n，則
P(ξ=0)=1-P1=

3

4

，P(ξ=m)=P1(1-P2)=

1

4

×

4

5

=

1

5

，
P(ξ=m+n)=P1P2=

1

4

×

1

5

=

1

20

．
Eξ=m×

1

5

+（m+n）×

1

20

=

m

4

+

n

20

（2）先回答問題B，再回答問題A，
參與者獲獎金額η可取0，n，m+n，則
P(η=0)=1-P2=

4

5

，P(ξ=n)=P2(1-P1)=

1

5

×

3

4

=

3

20

，
P(η=m+n)=P2P1=

1

5

×

1

4

=

1

20

．
Eη=0×

4

5

+n×

3

20

+(m+n)×

1

20

=

m

20

+

n

5

．
Eξ-Eη=（

m

4

+

n

20

）-（

m

20

+

n

5

）=

4m-3n

20

于是，當

m

n

＞

3

4

時，Eξ＞Eη，先回答問題A，再回答問題B，獲獎的期望值較大；
當

m

n

=

3

4

時，Eξ=Eη，兩種順序獲獎的期望值相等；
當

m

n

＜

3

4

時，Eξ＜Eη，先回答問題B，再回答問題A，獲獎的期望值較大．

點評：期望是概率論和數(shù)理統(tǒng)計的重要概念之一，是反映隨機變量取值分布的特征數(shù)，學(xué)習(xí)期望將為今后學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計知識做鋪墊．同時，它在市場預(yù)測，經(jīng)濟統(tǒng)計，風(fēng)險與決策等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，為今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)及相關(guān)學(xué)科產(chǎn)生深遠的影響．