Question

已知圓C的方程是（x-1）²+（y-1）²=4，直線l的方程為y=x+m，求：當m為何值時
（1）直線平分圓；
（2）直線與圓相切；
（3）直線與圓有兩個公共點．

Answer 1

解：由圓的方程（x-1）²+（y-1）²=4，得到圓心坐標為（1，1），圓的半徑r=2，
（1）當直線平分圓時，即直線過圓的直徑，把（1，1）代入y=x+m中，解得m=0；
（2）當直線與圓相切時，圓心（1，1）到直線y=x+m的距離d==r=2，解得m=±2；
（3）當直線與圓有兩個公共點即直線與圓相交時，圓心（1，1）到直線的距離d=＜r=2，解得：-2≤m≤2．
所以，當m=0時，直線平分圓；當m=±2時，直線與圓相切；當-2≤m≤2時，直線與圓有兩個公共點．
分析：（1）根據題意，由圓的方程找出圓心坐標和圓的半徑r，直線平分圓即直線過圓心，所以把圓心坐標代入直線方程中即可求出m的值；
（2）直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于半徑，所以利用點到直線的距離公式表示出圓心到已知直線的距離d，讓d等于圓的半徑列出關于m的方程，求出方程的解即可得到符合題意m的值；
（3）直線與圓有兩公共點即直線與圓相交，即圓心到直線的距離公式小于圓的半徑，所以利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線的距離d，讓d小于圓的半徑列出關于m的不等式，求出不等式的解集即可得到滿足題意的m的范圍．
點評：此題考查學生掌握直線與圓相切及相交時所滿足的條件，是一道綜合題．