Question

（1）解方程：log₂（9^x-5）=log₂（3^x-2）+2；
（2）已知：0≤x＜2π，解方程：cos2x=cosx（sinx+|sinx|）．

Answer 1

分析：（1）由方程 9^x-5=4•3^x-8，即（3^x）²-4•3^x+3=0解得：3^x=3 或 3^x=1，由此解指數方程求得x的值，注意驗根．
（2）①當0≤x≤π時，sinx≥0，方程化為 tan2x=1，求得x的值．②當π＜x＜2π時，sinx＜0，方程化為cos2x=0，求得x的值．所有的x值組成的集合就是所求．

解答：解：（1）∵log₂（9^x-5）=log₂（3^x-2）+2，∴log₂（9^x-5）=log₂[4（3^x-2）]，∴9^x-5=4•3^x-8，
即（3^x）²-4•3^x+3=0解得：3^x=3 或 3^x=1，故  x₁=1，x₂=0．  
經檢驗：x=1是原方程的根．
（2）由已知0≤x＜2π，
①當0≤x≤π時，sinx≥0，cos2x=cosx（sinx+|sinx|）可化為：cos2x=sin2x，tan2x=1，∴x=

π

8

或=

5π

8

．
②當π＜x＜2π時，sinx＜0，cos2x=cosx（sinx+|sinx|）可化為：cos2x=0，∴x=

5π

4

或x=

7π

4

．
綜上：原方程的解集為{

π

8

，

5π

8

，

5π

4

，

7π

4

}．

點評：本題主要考查對數函數的定義域，對數方程的解法，根據三角函數的值求角，體現了等價轉化和分類討論的數學思想．