Question

一個球與上底面邊長為4，下底面邊長為8的正四棱臺各面都相切，則球的體積與正四棱臺的體積之比為（　　）

• A、π：6
• B、π：7
• C、π：8
• D、π：9

Answer 1

分析：設內切球的半徑為 r，則正四棱臺的高為2r，由圓的切線性質可得正四棱臺的斜高等于6，再由勾股定理得 2r，可得r，
代入體積公式運算．

解答：解：設內切球的半徑為 r，則正四棱臺的高為2r，由圓的切線性質可得正四棱臺的斜高為2+4=6，
再由勾股定理得 2r=

36-4

=4

2

，r=2

2

．
求得體積為

4π

3

r³=

64 2 π

3

，正四棱臺的體積等于

2r

3

[s+

ss′

+s′]=

4 2

3

[16+32+64]=

448 2

3

，
∴球的體積與正四棱臺的體積之比為 

64 2 π 3

448 2 3

=

π

7

，
故選 B．

點評：本題考查棱臺的結構特征，圓的切線性質，球及棱臺體積的運算．