Question

(08年石景山區統一測試)（14分）

如圖，在四棱錐中，⊥底面，底面為正方形，，、分別是、的中點.

    （Ⅰ）求證：；

    （Ⅱ）求二面角的大小；

    （Ⅲ）在平面內求一點，使⊥平面，并證明你的結論．

Answer 1

解析：解法一：

（Ⅰ）證明：

      ∵ 、分別是、的中點,

      ∴ .

      ∵ 是正方形，

      ∴ .

      又 底面，

      ∴ 是斜線在平面內的射影.

      ∴ .

      ∴ .                               …………4分

 

（Ⅱ）連結交于，過作于，連結、.

      ∵ 分別為，中點，

  ∴ ∥.

 ∵ 底面，

 ∴ ⊥底面.

 ∴ 是斜線在平面內的射影.

 ∴ .

 ∴ 是二面角的平面角.        ……………………………7分

 經計算得：，.

 ∴ .

 即二面角的大小為.         ……………………………9分

（Ⅲ）取的中點，連結.

∵ ，

∴ .

又易證平面，

∴ .

又 ，

∴ 平面.                         ……………………………11分

取中點，連結、.

∴ ，且.

∴ 四邊形為平行四邊形.

∴ .

∴ ⊥平面.

即當是的中點時，⊥平面.

                                             ……………………………14分

解法二：

  以、、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系（如圖），則

 

、、、、、、.

                                                 ……………………………2分

（Ⅰ）∵，，

 ∴ .

 ∴                                 ……………………………5分

（Ⅱ）∵ ⊥底面，

 ∴ 平面的法向量為.          ……………………………6分

設平面的法向量為

由得即

令，則，．

∴ ．                               ……………………………9分

∴ .

即二面角的大小為.       ……………………………11分

（Ⅲ）設，則平面．

∴ ．

由，得．由，得．

∴ 點坐標為，即為中點時，⊥平面.    ………14分