Question

已知函數f(x)=(x³-6x²+3x+t)e^x，t∈R。
（Ⅰ）若函數y=f(x)依次在x=a，x=b，x=c（a＜b＜c）處取極值，求t的取值范圍；
（Ⅱ）若存在實數t∈[0，2]，使對任意的x∈[1，m]，不等式f(x)≤x恒成立，求正整數m的最大值。

Answer 1

解：（Ⅰ），
∵f(x)有三個極值點，
∴有三個根a、b、c，
令，則，
∴g(x)在(-∞，-1)，(3，+∞)上遞增，在(-1，3)上遞減，
∵g(x)有三個零點，
∴g(-1) ＞0，g(3) ＜0，
∴-8＜t＜24，
即t的取值范圍是（-8，24）。
（Ⅱ）不等式，
轉化為存在實數t∈[0，2]，使對任意的x∈[1，m]，不等式恒成立，
即不等式在x∈[1，m]上恒成立。
設，則，
設，則，
∵x∈[1，m]，∴＜0，
故r(x)在區間1，m]上是減函數，
又r(1)=4-e-1＞0，r(2)=2-e-2＞0，r(3)=-e-3＜0，
故存在，使得；
當時有，當時有；
從而在區間[1，]上遞增，在區間[，+∞)上遞減，
又，
 ，
∴當1≤x≤5時，恒ψ(x)＞0有；當x≥6時，恒有ψ(x)＜0，
故使命題成立的正整數m的最大值為5。