Question

已知a≠0，函數，g（x）=-ax+1，x∈R．
（I）求函數f（x）的單調遞減區間；
（Ⅱ）若在區間上至少存在一個實數x，使f（x）＞g（x）成立，試求正實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）對函數f（x）進行求導，當f'（x）＜0時的x的區間即是原函數的單調遞減區間．
（2）令F（x）=f（x）-g（x），只要函數F（x）在區間（0，]上的最大值大于0即可得到答案．
解答：解：（I）由求導得，f'（x）=a²x²-2ax．
①當a＞0時，由，解得
所以在上遞減．
②當a＜0時，由可得
所以在上遞減．
綜上：當a＞0時，f（x）單調遞減區間為；
當a＜0時，f（x）單調遞減區間為
（Ⅱ）設．
對F（x）求導，得F'（x）=a²x²-2ax+a=a²x²+a（1-2x），
因為，a＞0，所以F'（x）=a²x²+a（1-2x）＞0，F（x）在區間上為增函數，則．
依題意，只需F（x）_max＞0，即，
即a²+6a-8＞0，解得或（舍去）．
所以正實數a的取值范圍是．
點評：本題主要考查通過求導求函數增減性的問題．當導數大于0時原函數單調遞增，當導數小于0時原函數單調遞減．